四旋翼无人机

魔扣科技 · 发表于 2019-10-6 14:15:44

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四旋翼无人机
四旋翼无人机

四旋翼无人机的动力学模型

四旋翼无人机的姿态表示

Z-Y-X 欧拉角

欧拉角微分方程

四元数

四元数与虚数

四元数乘法

四元数微分方程

四旋翼无人机的姿态解算

传感器的特性

加速度补偿陀螺仪

磁力计补偿陀螺仪

四旋翼无人机的控制

PID控制
四旋翼无人机的动力学模型
为了建立起能够描述无人机的物理和运动特性的方程，需要定义建模时的坐标系。定义两种坐标系：固定坐标系（惯性坐标系）{A}和无人机的机身坐标系{B}。使用欧拉角ξ=(ϕ,θ,ψ)T\xi {\rm{ = }}{\left( {\phi, \theta ,\psi } \right)^T}ξ=(ϕ,θ,ψ)T表示在机身坐标系中无人机绕各个轴转动的角度，P=(x,y,z)TP={\left( {x, y ,z } \right)^T}P=(x,y,z)T表示无人机重心坐标。无人机为"X"型，无人机质量为mmm，机臂长度为lll，绕无人机三个轴转动的转动惯量分别为Ixx,Iyy,IzzI_{xx},I_{yy},I_{zz}Ixx,Iyy,Izz。无人机结构图如下

四个旋翼的升力分别为F1,F2,F3,F4F_1,F_2,F_3,F_4F1,F2,F3,F4，都沿着无人机机身zzz轴方向。总升力u1=F1+F2+F3+F4u_1=F_1 + F_2 + F_3 + F_4u1=F1+F2+F3+F4, 作用于xxx轴的力矩u2=l2(−F1−F2+F3+F4)u_2=\dfrac{l}{{\sqrt 2 }}( - F_1 - F_2 + F_3 + F_4)u2=2l(−F1−F2+F3+F4), 作用于yyy轴的力矩u3=l2(−F1+F2+F3−F4)u_3=\dfrac{l}{{\sqrt 2 }}( - F_1 +F_2 + F_3 - F_4)u3=2l(−F1+F2+F3−F4), 作用于zzz轴的力矩（扭矩） u4=−b(F1+F2−F3+F4)u_4= -b( F_1 + F_2 - F_3 + F_4)u4=−b(F1+F2−F3+F4), 其中bbb 是力到扭矩的系数。根据牛顿-欧拉方程可得无人机运动学方程
IΩ˙+Ω×IΩ=NI\dot \Omega  + \Omega  \times I\Omega  = NIΩ˙+Ω×IΩ=N其中I是无人机惯性张量矩阵，认为无人机机身对称，则I=diag(Ixx,Iyy,Izz)I = diag(I_{xx},I_{yy},I_{zz})I=diag(Ixx,Iyy,Izz)，Ω\OmegaΩ表示无人机绕各个轴转动的角速度Ω=(ϕ˙,θ˙,ψ˙)T\Omega=({\dot \phi, \dot \theta ,\dot \psi } )^TΩ=(ϕ˙,θ˙,ψ˙)T，NNN表示作用在无人机上的合力矩，N=(u2，u3，u4)TN=(u_2，u_3，u_4)^TN=(u2，u3，u4)T。展开得
ϕ¨=θ˙ψ˙Iyy−IzzIxx+u2Ixx
\ddot \phi  = \dot \theta \dot \psi \dfrac{{{I_{yy}} - {I_{zz}}}}{{{I_{xx}}}} + \dfrac{u_2}{{{I_{xx}}}} ϕ¨=θ˙ψ˙IxxIyy−Izz+Ixxu2θ¨=ϕ˙ψ˙Izz−IxxIyy+u3Iyy
\ddot \theta  = \dot \phi \dot \psi \dfrac{{{I_{zz}} - {I_{xx}}}}{{{I_{yy}}}} + \dfrac{u_3}{{{I_{yy}}}} θ¨=ϕ˙ψ˙IyyIzz−Ixx+Iyyu3ψ¨=θ˙ϕ˙Ixx−IyyIzz+u4Izz
\ddot \psi  = \dot \theta \dot \phi \dfrac{{{I_{xx}} - {I_{yy}}}}{{{I_{zz}}}} + \dfrac{u_4}{{{I_{zz}}}} ψ¨=θ˙ϕ˙IzzIxx−Iyy+Izzu4由牛二定律
ma=BARzyxF ma=_B^A{R_{zyx}} Fma=BARzyxF其中a=(x¨，y¨，z¨)Ta=(\ddot x，\ddot y，\ddot z)^Ta=(x¨，y¨，z¨)T，F=(0，0，u1)TF=(0，0，u_1)^TF=(0，0，u1)T。BARzyx_B^A{R_{zyx}}BARzyx的计算在后面。展开得
x¨=u1(cos⁡ϕsin⁡θcos⁡ψ+sin⁡ϕsin⁡ψ)m
\ddot x = \dfrac{{u_1(\cos \phi \sin \theta \cos \psi  + \sin \phi \sin \psi )}}{m} x¨=mu1(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)y¨=u1(cos⁡ϕsin⁡θsin⁡ψ−sin⁡ϕcos⁡ψ)m
\ddot y = \dfrac{{u_1(\cos \phi \sin \theta \sin \psi  - \sin \phi \cos \psi )}}{m} y¨=mu1(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)z¨=u1cos⁡ϕcos⁡θm−g
\ddot z = \dfrac{{u_1\cos \phi \cos \theta }}{m} - g z¨=mu1cosϕcosθ−g
四旋翼无人机的姿态表示
Z-Y-X 欧拉角
先将{B}坐标系绕{B}的z轴旋转ψ\psiψ角得到{C}坐标系，再将{C}坐标系绕{C}的y轴旋转θ\thetaθ角得到{D}坐标系，再将{D}坐标系绕{D}的x轴旋转ϕ\phiϕ角得到{A}坐标系，那么{B}坐标系变换到{A}坐标系的旋转矩阵为BARzyx=BCRz⋅CDRy⋅DARx_B^A{R_{zyx}} = _B^C{R_z} \cdot _C^D{R_y} \cdot _D^A{R_x}BARzyx=BCRz⋅CDRy⋅DARx

容易得到(BARzyx)−1=ABRzyx=(BARzyx)T{\left( {_B^A{R_{zyx}}} \right)^{ - 1}} = _A^B{R_{zyx}} = {\left( {_B^A{R_{zyx}}} \right)^T}(BARzyx)−1=ABRzyx=(BARzyx)T{B}坐标系中向量Bp=(x0,y0,z0)^Bp= \left({{x_0},{y_0},{z_0}} \right)Bp=(x0,y0,z0)在{A}坐标系中表示为·Ap=(x1,y1,z1)^Ap= \left({{x_1},{y_1},{z_1}} \right)Ap=(x1,y1,z1)，那么
Ap=BARzyxBp^Ap=_B^A{R_{zyx}} ^BpAp=BARzyxBp
欧拉角微分方程
对上面的BARzyx_B^A{R_{zyx}}BARzyx求微分，得

具体过程参见yangoming的博客(http://blog.sina.com.cn/s/blog_40edfdc90102wazm.html)
当θ=π/2\theta=\pi/2θ=π/2时会遇到万向节死锁，转动失去一个自由度，欧拉角微分方程无法表示，所以四元数微分方程而不用欧拉角微分方程。
四元数
四元数与虚数
我们都知道虚数形式为q=w+x⋅i⃗q = w + x \cdot\vec iq=w+x⋅i可以写为q=w+x⋅i⃗+0⋅j⃗+0⋅k⃗q = w + x \cdot \vec i + 0\cdot\vec j + 0\cdot\vec kq=w+x⋅i+0⋅j+0⋅k 单位虚数q^=eiθ=cos⁡θ+i⃗⋅sinθ=cos⁡θ+sin⁡θ(1∗i⃗+0∗j⃗+0∗k⃗)\hat q= {e^{i\theta }}=\cos \theta + \vec i\cdot sin \theta=\cos \theta + \sin \theta \left( {1*\vec i + 0*\vec j + 0*\vec k} \right)q^=eiθ=cosθ+i⋅sinθ=cosθ+sinθ(1∗i+0∗j+0∗k)p^q\hat pqp^q可以表示一个向量ppp绕轴（或向量）(1,0,0)(1,0,0)(1,0,0)旋转θ\thetaθ得到的向量。
四元数是虚数的扩展，一个四元数可以表示为 q=w+xi⃗+yj⃗+zk⃗q = w + x\vec i + y\vec j + z\vec kq=w+xi+yj+zk 单位四元数q^=eθ2(xi⃗+yj⃗+zk⃗)=cos⁡θ2+(xi⃗+yj⃗+zk⃗)sin⁡θ2{\hat q=e^{\frac{\theta }{2}\left( {x\vec i + y\vec j + z\vec k} \right)}} = \cos {\frac{\theta }{2}} + \left( {x\vec i + y\vec j + z\vec k} \right)\sin {\frac{\theta }{2}} q^=e2θ(xi+yj+zk)=cos2θ+(xi+yj+zk)sin2θ且q^pq^∗\hat qp{{\hat q}^ * }q^pq^∗可以表示一个向量ppp绕轴（或向量）(x,y,z)( x,y,z)(x,y,z)旋转θ\thetaθ得到的向量。其中x2+y2+z2=1{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1x2+y2+z2=1，q^∗{{\hat q}^ * }q^∗是q^\hat qq^的共轭。
四元数乘法
简便起见四元数可以写为q=w+v⃗⋅x⃗=(w,v⃗)q = w + \vec v \cdot \vec x=(w,\vec v)q=w+v⋅x=(w,v)其中www为标量，vvv为向量,v⃗=(x,y,z),x⃗=(i⃗,j⃗,k⃗),\vec v = \left( {x,y,z} \right),\vec x = \left( {\vec i,\vec j,\vec k} \right),v=(x,y,z),x=(i,j,k)
两个四元数的乘法按多项式乘法进行,i⃗j⃗=k⃗,j⃗k⃗=i⃗,k⃗i⃗=j⃗\vec i\vec j = \vec k,\vec j\vec k = \vec i,\vec k\vec i{\rm{ = }}\vec jij=k,jk=i,ki=jq1=(w1,v⃗1){q_1} = \left( {{w_1},{\vec v_1}} \right)q1=(w1,v1),q2=(w2,v⃗2){q_2} = \left( {{w_2},{\vec v_2}} \right)q2=(w2,v2)，q1q2{q_1q_2}q1q2化简得w1w2−v⃗1⋅v⃗1,v⃗1×v⃗2+w1v⃗2+w2v⃗1{{w_1w_2-\vec v_1 \cdot \vec v_1},{\vec v_1 \times \vec v_2+w_1\vec v_2+w_2\vec v_1}}w1w2−v1⋅v1,v1×v2+w1v2+w2v1假设单位四元数q^=q0+q1i⃗+q2j⃗+q3k⃗\hat q = q_0+ q_1\vec i + q_2\vec j + q_3\vec kq^=q0+q1i+q2j+q3k可以表示为 q^=[q0,q1,q2,q3]\hat q = \left[ {q_0},{q_1},{q_2},{q_3}\right]q^=[q0,q1,q2,q3] 向量p=(x0,y0,z0)p= \left({{x_0},{y_0},{z_0}} \right)p=(x0,y0,z0)的四元数p=[0,x0,y0,z0]p= \left[ 0,{{x_0},{y_0},{z_0}} \right]p=[0,x0,y0,z0]。
p′=q^pq^∗p' =\hat qp{{\hat q}^ * }p′=q^pq^∗得到四元数p′=[0,x1,y1,z1]p'= \left[ 0,{{x_1},{y_1},{z_1}} \right]p′=[0,x1,y1,z1]。对应的向量p′=(x1,y1,z1)p' = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)p′=(x1,y1,z1)。

对比欧拉角旋转矩阵，可以知道

四元数微分方程
假设单位四元数q=cos⁡θ2+n⃗sin⁡θ2q = \cos \frac{\theta }{2} + \vec n\sin \frac{\theta }{2}q=cos2θ+nsin2θ表示惯性坐标系{A}绕向量n⃗\vec nn旋转θ\thetaθ角得到机体坐标系{B}，那么θ˙=Aω⃗\dot \theta=^A\vec\omegaθ˙=Aω。对两边微分，得q˙=−12θ˙sin⁡θ2+12n⃗θ˙cos⁡θ2+dn⃗dtsin⁡θ2\dot q =  - \frac{1}{2}\dot \theta \sin \frac{\theta }{2} + \frac{1}{2}\vec n\dot \theta \cos \frac{\theta }{2} + \frac{{d\vec n}}{{dt}}\sin \frac{\theta }{2}q˙=−21θ˙sin2θ+21nθ˙cos2θ+dtdnsin2θ
其中dn⃗dt=ϖ×n⃗=θ˙n⃗×n⃗=0\frac{{d\vec n}}{{dt}} = \varpi  \times \vec n = \dot \theta \vec n \times \vec n = 0 dtdn=ϖ×n=θ˙n×n=0所以
q˙=−12θ˙sin⁡θ2+12n⃗θ˙cos⁡θ2=n⃗θ˙2(cos⁡θ2+n⃗sin⁡θ2)=12Aω⃗q\dot q =  - \frac{1}{2}\dot \theta \sin \frac{\theta }{2} + \frac{1}{2}\vec n\dot \theta \cos \frac{\theta }{2} = \vec n\frac{{\dot \theta }}{2}\left( {\cos \frac{\theta }{2} + \vec n\sin \frac{\theta }{2}} \right) = \frac{1}{2}  {^A\vec\omega} qq˙=−21θ˙sin2θ+21nθ˙cos2θ=n2θ˙(cos2θ+nsin2θ)=21AωqBω⃗^B\vec\omegaBω是机体角速度，Bω⃗=qAω⃗q∗^B\vec\omega {\rm{ = }}{q^A}\vec\omega {q^ * }Bω=qAωq∗，所以q˙=12qBω⃗\dot q =  \frac{1}{2} q {^B\vec\omega}q˙=21qBω
q˙=(q0+q1i⃗+q2j⃗+q3k⃗)(ωxi⃗+ωyj⃗+ωzk⃗)\dot q =(q_0 + q_1\vec i + q_2\vec j + q_3\vec k)({\omega _x}\vec i + {\omega _y}\vec j + {\omega _z}\vec k)q˙=(q0+q1i+q2j+q3k)(ωxi+ωyj+ωzk) 整理得

四元数微分方程可用来更新四元数，进而更新旋转矩阵。
四旋翼无人机的姿态解算
姿态解算就是求欧拉角ξ=(ϕ,θ,ψ)T\xi {\rm{ = }}{\left( {\phi, \theta ,\psi } \right)^T}ξ=(ϕ,θ,ψ)T，等价于求旋转矩阵。
无人机机体携带的加速度计测加速度向量Ba⃗^B\vec aBa，陀螺仪测量三个轴的角速度Bω⃗^B\vec\omegaBω，如果有磁力计可以测地磁场强度向量BH⃗^B\vec HBH。
先不考虑测量数据的误差，仅凭角速度更新旋转矩阵。使用一阶龙格库塔法更新四元数
qt+Δt=qt+Δtq˙t{q_{t + \Delta t}} = {q_t} + \Delta t{{\dot q}_t}qt+Δt=qt+Δtq˙t然后四元数单位化，得到四元数表示的旋转矩阵。
传感器的特性
传感器但是有误差的，陀螺仪高频特性好，某一时刻测得的角速度值比较精准，但积分会有很大的漂移；而加速度计和磁力计低频特性好，总体趋势比较准。姿态解算需要利用静态性能好的加速度计和磁力计取补偿动态性能好的陀螺仪，得到不漂并且高速的姿态跟踪算法。
传感器使用前需要校正。陀螺仪校正是测系统初始时一段时间内的测量值的平均值作为偏移值，后面的测量值减去这个偏移值使用；加速度计校正，加速度计测量值分布在一个球面上，用球面方程拟合初始一段时间的数据得到球面半径即为重力加速度的值（单位是g）;地磁场一般情况下大小只有0.5高斯，很容易受到铁钴镍金属和其他磁场的干扰，一般认为干扰磁场是一个恒定的向量。校准方法有平面校准法和立体8字校准法。
加速度补偿陀螺仪
重力加速度g⃗=gz⃗\vec g = g\vec zg=gz,归一化g^=z^=(0,0,1)T\hat g = \hat z=(0,0,1)^Tg^=z^=(0,0,1)T，旋转至机体坐标系得Bg^^B\hat gBg^,Bg^=ABRzyxAg^=(−sin⁡θ,sin⁡ϕcos⁡θ,cos⁡ϕcos⁡θ)T^B\hat g = _A^B{R_{zyx}}^A\hat g={\left( { - \sin \theta ,\sin \phi \cos \theta ,\cos \phi \cos \theta } \right)^T}Bg^=ABRzyxAg^=(−sinθ,sinϕcosθ,cosϕcosθ)T（可以看到在载体本身无加速度的情况下加速度计的测量值和角ψ\psiψ无关，所以仅凭加速度计无法完全补偿陀螺仪。）
加速度计测得的加速度Ba⃗^B\vec aBa做归一化Ba^^B\hat aBa^，向量积得出姿态误差
Verror=Ba^×Bg^{V_{ERROR}}{ = ^B}\hat a{ \times ^B}\hat gVerror=Ba^×Bg^向量积误差是指将带有误差的加速度计向量Ba^^B\hat aBa^转动至与准确的加速度计向量Bg^^B\hat gBg^重合需要绕什么轴转多少角度。如果完全按照向量积误差转过去，就是完全信任加速度计，如果一点也不转就是完全信任陀螺仪。如果把这个误差乘以一个系数加到角速度上去就是互补滤波。也可以用Mahony的PI滤波,VI+=ki∗Verror{V_{I}} += k_i*V_{error}VI+=ki∗VerrorGyro+=kp∗Verror+VIGyro += k_p*V_{error}+{V_{I}}Gyro+=kp∗Verror+VIkpk_pkp是加速度权重，越大则向加速度测量值的收敛越快。GyroGyroGyro就是得到的修正后的角速度值。
磁力计补偿陀螺仪
加速度计的测量值和角ψ\psiψ无关，所以仅凭加速度计无法完全补偿陀螺仪。磁力计直接测得的是地磁场向量BH^BHBH，对一个固定地点来说地磁场一般是一定的。这个向量可以分解为两个与当地水平面平行的分量和一个与当地水平面垂直的分量。对于水平方向的两个分量，他们的向量和方向总是指向磁北的。航向角ψ\psiψ是就是当前方向和磁北的夹角。

AH=BARyxBH^AH = _B^A{R_{yx}}^BHAH=BARyxBH如果完全信赖磁力计ψ=atan2(AHy,AHx)\psi= atan2(^AH_y,^AH_x)ψ=atan2(AHy,AHx)让惯性坐标系的xxx轴指向磁北，那么AH=(AHx,0,AHz)^AH =(^AH_x,0,^AH_z)AH=(AHx,0,AHz)。BH=(BHx,BHy,BHz)^BH =(^BH_x,^BH_y,^BH_z)BH=(BHx,BHy,BHz),AH′=BARzyxBH=(hx,hy,hz)^AH' = _B^A{R_{zyx}}^BH=(h_x,h_y,h_z)AH′=BARzyxBH=(hx,hy,hz)AHx=hx2+hy2,AHz=hz^A{H_x} = \sqrt {h_x^2 + h_y^2},  ^A{H_z} = {h_z} AHx=hx2+hy2,AHz=hz将AH^AHAH旋转至机身坐标系得BH′=ABRzyxAH^BH '= _A^B{R_{zyx}}^AHBH′=ABRzyxAH，BH′^BH 'BH′和BH^BHBH做向量积，向量积误差仍然通过Mahony的PI滤波加到角速度上，这样就完成了一次地磁计的补偿。
四旋翼无人机的控制
PID控制
PID（比例-积分-微分）控制方法是一种简单有效的线性控制方法，广泛应用于工业控制。PID控制是一种单入单出系统的反馈控制方法，输入控制系统目标状态值和实际状态的差值eee，得到系统的控制输入uuu
u=kPe+kI∫t0tedt+kDdedtu = {k_P}e + {k_I}\int_{{t_0}}^t {edt}  + {k_D}\frac{{de}}{{dt}}u=kPe+kI∫t0tedt+kDdtde
无人机系统是一个多输入多输出的欠驱动强耦合的非线性系统，控制输入为四个旋翼的升力分别为F1,F2,F3,F4F_1,F_2,F_3,F_4F1,F2,F3,F4，输出为六个状态x,y,z,ϕ,θ,ψ{x, y ,z,\phi, \theta ,\psi }x,y,z,ϕ,θ,ψ。不能设计6个独立的PID控制器，因为系统的控制输入只有4个。观察无人机系统的动力学方程ϕ¨=θ˙ψ˙Iyy−IzzIxx+u2Ixx
\ddot \phi  = \dot \theta \dot \psi \dfrac{{{I_{yy}} - {I_{zz}}}}{{{I_{xx}}}} + \dfrac{u_2}{{{I_{xx}}}} ϕ¨=θ˙ψ˙IxxIyy−Izz+Ixxu2θ¨=ϕ˙ψ˙Izz−IxxIyy+u3Iyy
\ddot \theta  = \dot \phi \dot \psi \dfrac{{{I_{zz}} - {I_{xx}}}}{{{I_{yy}}}} + \dfrac{u_3}{{{I_{yy}}}} θ¨=ϕ˙ψ˙IyyIzz−Ixx+Iyyu3ψ¨=θ˙ϕ˙Ixx−IyyIzz+u4Izz
\ddot \psi  = \dot \theta \dot \phi \dfrac{{{I_{xx}} - {I_{yy}}}}{{{I_{zz}}}} + \dfrac{u_4}{{{I_{zz}}}} ψ¨=θ˙ϕ˙IzzIxx−Iyy+Izzu4x¨=u1(cos⁡ϕsin⁡θcos⁡ψ+sin⁡ϕsin⁡ψ)m
\ddot x = \dfrac{{u_1(\cos \phi \sin \theta \cos \psi  + \sin \phi \sin \psi )}}{m} x¨=mu1(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)y¨=u1(cos⁡ϕsin⁡θsin⁡ψ−sin⁡ϕcos⁡ψ)m
\ddot y = \dfrac{{u_1(\cos \phi \sin \theta \sin \psi  - \sin \phi \cos \psi )}}{m} y¨=mu1(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)z¨=u1cos⁡ϕcos⁡θm−g
\ddot z = \dfrac{{u_1\cos \phi \cos \theta }}{m} - g z¨=mu1cosϕcosθ−g1. 因为四旋翼在飞行过程中偏角ϕ\phiϕ和θ\thetaθ一般很小，所以近似认为zzz的状态只与u1u_1u1有关，所以先用一个独立的PID控制这个通道得到u1u_1u1。
2.ψ\psiψ也可近似认为只与u4u_4u4有关，所以用一个独立的PID控制这个通道得到u4u_4u4。
3.对xxx和yyy通道，xxx和yyy没有直接和控制量u2u_2u2和u3u_3u3产生关系，但是xxx和yyy与ϕ\phiϕ和θ\thetaθ有关，ϕ\phiϕ和θ\thetaθ和u2u_2u2和u3u_3u3有关，所以对xxx和yyy通道分别使用嵌套双层PID控制。如xxx通道外层PID控制器产生一个虚拟控制律θdesired\theta_{desired}θdesired，作为内层PID控制器的参考输入，内层PID控制器的输入为θdesired−θ\theta_{desired}-\thetaθdesired−θ，产生u3u_3u3，yyy通道类似产生u4u_4u4。
PID控制是单输入单输出控制，应用于四旋翼无人机控制是把无人机控制分成了四个独立通道，分别控制，忽略了各个通道的耦合关系。




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